Графики функций. 9 класс

Прямая, парабола и гипербола: как построить график и как по рисунку найти коэффициенты.

Сначала разбери, что означает каждый коэффициент и как прочитать его по точкам графика. Ползунки сразу пересчитывают формулу, вершину и дискриминант. В тесте нужно найти сами числа, а не только название кривой.

Прямая — линейная функция

y = kx + b

k — угловой коэффициент, наклон прямой. Если k > 0, прямая поднимается слева направо и функция возрастает. Если k < 0, прямая опускается и функция убывает. Если k = 0, прямая горизонтальная: y = b. Чем больше |k|, тем круче прямая.

b — свободный член. Это ордината точки пересечения с осью Oy: график проходит через (0; b). Если k ≠ 0, с осью Ox прямая пересекается в точке (−b/k; 0).

Как найти k и b по графику

  1. b смотри сразу: это y в точке, где прямая пересекает ось Oy.
  2. Возьми две точки с целыми координатами, (x₁; y₁) и (x₂; y₂).
  3. k = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁). Если x отличаются на 1, k равен тому, на сколько изменился y.

Пример. Прямая проходит через (0; 1) и (1; 3). Тогда b = 1, k = (3 − 1) / (1 − 0) = 2, формула y = 2x + 1. Через (0; 2) и (1; 1): b = 2, k = −1, формула y = −x + 2.

Как строить

  1. Отметь (0; b) на оси Oy.
  2. От этой точки шагни на 1 вправо и на k вверх (если k < 0 — вниз).
  3. Через две точки проведи прямую и продли её.

Парабола — квадратичная функция

y = ax2 + bx + c, a ≠ 0

a задаёт направление и ширину. Если a > 0, ветви вверх. Если a < 0, ветви вниз. Чем больше |a|, тем парабола уже. c — ордината пересечения с осью Oy, точка (0; c). b сдвигает вершину влево или вправо.

Что такое x0

x0 — абсцисса вершины. Через неё проходит ось симметрии x = x0: слева и справа от этой прямой график зеркальный.

x0 = −b / (2a),   y0 = y(x0)

Ординату вершины можно посчитать и так: y0 = −D / (4a). Если есть два корня, вершина лежит ровно посередине: x0 = (x₁ + x₂) / 2.

Пример. y = x² − 4x + 3. Здесь a = 1, b = −4, c = 3. x0 = 4 / 2 = 2, y0 = 4 − 8 + 3 = −1. Вершина (2; −1).

Дискриминант

Дискриминант показывает, сколько раз парабола пересекает ось Ox, то есть сколько корней у уравнения ax² + bx + c = 0.

D = b² − 4ac

  • D > 0 — два разных корня и две точки на оси Ox: x = (−b ± √D) / (2a).
  • D = 0 — один корень, вершина лежит на оси Ox, график её касается.
  • D < 0 — корней нет, ось Ox не пересекается. При a > 0 парабола целиком выше оси, при a < 0 — целиком ниже.

Для y = x² − 4x + 3 дискриминант D = 16 − 12 = 4 > 0. Корни x = 1 и x = 3. Для y = x² + 1 получается D = −4 < 0: пересечений нет. Для y = x² − 2x + 1 получается D = 0: касание в вершине (1; 0).

Как прочитать a, b и c по графику

  1. c — это y в точке пересечения с осью Oy.
  2. Знак a виден по ветвям. Число a: от вершины шаг на 1 вправо меняет y ровно на a. Шаг на 2 вправо меняет y на 4a.
  3. x0 — это x вершины. Тогда b = −2ax0.

Как строить

  1. Посчитай x0 и y0, отметь вершину. На рисунке ниже ось симметрии показана пунктиром.
  2. Отметь (0; c) и, если D ≥ 0, точки на оси Ox.
  3. Добавь точку, симметричную (0; c) относительно x = x0, и соедини всё плавной кривой.

Гипербола — обратная пропорциональность

y = k / x, k ≠ 0

График — две ветви. При k > 0 они в I и III четвертях, при k < 0 — во II и IV. Функция не определена при x = 0 и никогда не равна нулю: оси — асимптоты. Вместе с точкой (x; y) на графике есть точка (−x; −y).

Как найти k по графику

Для любой точки гиперболы k = x·y. Удобнее всего точка с x = 1: её ордината и есть k. Если видна точка (2; y), то k = 2y.

Пример. График проходит через (2; 1). Тогда k = 2·1 = 2 и формула y = 2/x. Через (1; −3): k = −3, формула y = −3/x. Чем больше |k|, тем дальше ветвь от осей рядом с x = ±1.

Как строить

  1. Отметь (1; k) и (2; k/2), затем симметричные им (−1; −k) и (−2; −k/2).
  2. Ноль в знаменатель не подставляй.
  3. Каждую ветвь соедини отдельно. Через оси линию не проводи.